En particular, para z ∈ D, la función delta δ z es un funcional lineal continuo en H2(∂D). En el análisis complejo, la función delta entra a través de la fórmula integral de Cauchy, que afirma que si D es un dominio en el plano complejo con un límite suave, entonces De manera equivalente, δ es un elemento del espacio dual continuo H−1 de H1. Para todas las funciones f continuas compatibles de forma compacta.

Un enfoque riguroso para considerar la función delta de Dirac como un objeto matemático por derecho propio requiere la teoría de la medida o la teoría de las distribuciones. La delta de Dirac no es realmente una función, al menos no una habitual con dominio y rango en números reales. La gráfica del delta de Dirac generalmente se considera que sigue el eje x completo y el eje y positivo. Su validez fue discutida hasta que Laurent Schwartz caposino casino desarrolló la teoría de las distribuciones donde se define como una forma lineal que actúa sobre funciones.

Es la solución fundamental de la ecuación de Laplace en el semiplano superior. De manera abstracta, si A es un operador lineal que actúa sobre funciones de x, entonces surge un semigrupo de convolución al resolver el problema de valor inicial En el contexto de las matemáticas aplicadas, los semigrupos surgen como resultado de un sistema lineal invariante en el tiempo. Esto equivale a la restricción adicional de que la convolución de ηε con ηδ debe satisfacer